La légende urbaine

« Je suis toujours surpris de quoy M. Wallis méprise constamment tout ce qu’il ne sçait pas. » Pierre de FERMAT en 1658.

(1/4) : Fermat sur le Divan

(2/4) : Premier maillon, le coup de bluff

(3/4) : Dernier problème

(4/4) : La légende urbaine

« Il y a un roman derrière le grand théorème de Fermat, et il est haut en couleur ! » Cédric Villani (“Pour la Science”).

On a parfois pensé que le théorème de Fermat était indémontrable, tandis que des amateurs se persuadaient – et sont toujours persuadés – d'avoir trouvé une preuve très simple. Au fil du temps les mathématiciens s'en sont de plus en plus désintéressés, d'autant qu'on ne voyait aucune utilité pratique à le prouver. On avait cherché à savoir comment Fermat avait pu le prouver, et certains prétendaient qu'il avait dû se tromper (ou beaucoup s'avancer sans l'avoir prouvé). En 1963, le jeune Andrew Wiles, alors âgé de 10 ans, ne trouvant nulle part la preuve de l’exactitude du Dernier Théorème de Fermat, s’était promis qu’un jour il le prouverait. Trente ans plus tard se produit un événement totalement inattendu, on apprend que Wiles semble tout prêt d'avoir résolu le problème. Le 25 octobre 1994, aidé de Taylor il diffuse sa preuve. Elle n’est qu’un corollaire d’autres découvertes, et surtout d’une complexité inouïe, mais c'est une preuve. En apprenant la nouvelle, Jean Bénabou fait part de sa joie à Jacques Roubaud en ajoutant avec quelque humeur : « C’est comme si on avait conquis l’Everest avec des fusées de la Nasa ». 

Mais enfin, la preuve est là, l'enthousiasme est à la mesure de la découverte, toute la frustration accumulée pendant des siècles est instantanément balayée chez beaucoup de mathématiciens. Pour tous c'est une énorme et belle surprise. Cette journée du 25 octobre marque le début d’une période assez problématique dans l’historiographie des mathématiques. Puisque le théorème est vrai il est encore moins interdit qu'auparavant de penser que Fermat lui aussi, l'avait prouvé. Pourtant à partir de ce jour, même si Fermat écrit qu’il a réellement dévoilé une preuve étonnante de son théorème, c'est le contraire qui se produit, on relaiera une nouvelle rumeur, puisque la preuve n'a été découverte qu’avec des outils très sophistiqués : jamais Fermat n’aurait pu en trouver une avec ses propres outils. Il y a quelque chose de malsain dans ce biais cognitif. Les mathématiciens ont échoué à retrouver la preuve de Fermat mais ils ont maintenant la leur, le prétexte est tout trouvé pour ne plus avoir à chercher (quasiment sans espoir) une preuve beaucoup plus courte mais extrêmement difficile à comprendre. Et l’occasion est trop belle pour regrouper tous les arguments approximatifs, parfois fallacieux, afin de dire qu'il est quasiment certain que le plus grand génie mathématique du dix-septième siècle avait dû se tromper. Après le tapage fait en 1994 autour de la découverte de Wiles, comment imaginer que les mathématiciens les plus académiques puissent revenir sur leur idée ? Comment reconnaître que l'exploit de Fermat est autre chose qu'une illusion réservée aux incurables optimistes ?

Ce qui a suscité cet engouement quand on apprit que Wiles avait trouvé une preuve, c'est qu'on en cherchait une (plus ou moins) depuis 1670. Comme Jean Bénabou et bien d'autres, je pourrais moi aussi être déçu de la manière dont ce théorème a été prouvé. Si ce 25 octobre 1994 ne fut pas, bien sûr, une tromperie, il y eut comme un énorme malentendu, l'exploit de Wiles n'a rien à voir avec ce qu'on aurait tant souhaité retrouver. Non seulement le dernier défi, pour le chercheurs lucide, a gardé tout son attrait et tout son charme, mais il est encore plus vivant qu'autrefois. Si Fermat pouvait penser que sa facétie tiendrait longtemps en haleine les savants, pouvait-il imaginer qu'un destin malicieux irait au-delà de ses vœux ? Peut-être.

Le mathématicien Harold Edwards voulut vulgariser des mathématiques. Évoquant la conjecture des "nombres de Fermat" il écrivit : « [Fermat] alla même jusqu’à dire, plus tard dans sa vie, qu’il pouvait prouver que ces nombres étaient tous premiers ». Quand Fermat écrit : « J’ai ensuite considéré certaines questions », Edwards tombe dans le piège et lit : « J'ai ensuite prouvé certaines propositions » . Eric Temple Bell, lui aussi mathématicien, comme Edwards avait à cœur d'attirer des gens vers les mathématiques, voici ce qu'il écrit dans son livre The Last Problem, édité en 1961, après sa mort survenue en 1960 :

« Fermat a déclaré qu'il pensait que la proposition était vraie, mais n'a jamais prétendu nulle part l'avoir prouvée. Il est temps que les déclarations erronées dans certaines histoires mathématiques soient corrigées – même au prix d'imprimer tout ce que Fermat a dit dans son propre langage. [...]. »

Dans la lettre bilan de Fermat à Carcavi pour Huygens, où il ne fait toujours aucune allusion au grand théorème, il termine par ces mots : « Et peut-être la postérité me saura gré de lui avoir fait connaître que les Anciens n’ont pas tout su, et cette relation pourra passer dans l’esprit de ceux qui viendront après moi pour traditio lampadis ad filios, comme parle le grand Chancelier d’Angleterre, suivant le sentiment et la devise duquel j’adjouterai, multi pertransibunt et augebitur sciencia^(*)».

(*) « Ils seront nombreux à aller au-delà, et la connaissance en sera accrue. »

En 1976, dans son ouvrage Fermat's Last Theorem - A Generic Introduction to Algebraic Number Theory (page 38), Edwards discourt d’une étrange façon à propos de cette lettre : « Au contraire, à notre époque, l'attitude générale est que les Anciens ne savaient rien du tout ». Fermat n'a jamais prétendu que les Anciens savaient tout, Edwards sort une phrase de son contexte et oublie quand même beaucoup de choses, par exemple que les Babyloniens, il a 4000 ans, savaient qu'on pouvait déterminer la valeur de avec une grande précision, proche du millionième. (Voir Wikipedia, YBC 7289).

On peut énoncer une formule générale pour disqualifier Pierre de Fermat, “Juge” et mathématicien amateur.
1. Écrire un livre ou un article sur la théorie des nombres en rappelant tous les apports de Fermat.
2. Lui attribuer de belles qualités (esprit pénétrant, etc.).
3. Faire une remarque négative à son sujet. La plus fréquente concerne la fausse conjecture des "nombres de Fermat", formulée ici par Edwards : « Cet incident semble être la seule tache sérieuse (the one serious smirch) sur la réputation de Fermat en tant que théoricien des nombres. »
4. Pour finir remercier Fermat.

L’historien Jean Itard, a utilisé avant lui (1950) ce procédé mais en inversant les points 3 et 4 et en étant beaucoup plus cassant.
Tout mathématicien sérieux et familier des travaux de Fermat sait qu'aucun des «arguments» avancés par ses contempteurs ne tient sérieusement la route. Au fond, seul le fait que Fermat aurait pu trouver une preuve avec ses seuls outils leur est difficilement concevable. Si, obsédé par son désir de généralité, il n'a jamais évoqué ailleurs que dans cette note son théorème général, on sait qu'il l'a toujours eu présent à l’esprit. Il affirme en détenir une preuve, pourtant il n'en parle jamais de son vivant. Dans cette affaire digne d'un roman à suspense il fait preuve d’une maîtrise et d’une virtuosité confondantes, brouillant les pistes d'un côté, de l'autre laissant de nombreux indices. Qu'il ait révélé à l’intention de ses seuls suiveurs un début d'explication à l’aide de trois lignes et demie d’écriture latine – même s’il (Pierre + Samuel) les a écrites différemment (à peine) dans trois versions de l’édition de 1670 – participe du sublime. La seule édition consultable à Zurich, sans anomalie trop flagrante, n'aurait sans doute pas permis un décryptage, d'autant que l'usage du latin s'est raréfié au cours du XIX^e siècle. L'édition de Lyon aurait suffi (elle a suffi à Roland Franquart), celle de Rome, la plus révélatrice (detexis camouflé → « tu tisses complètement  »), la plus excentrique aussi, est d'une force moindre mais confirme encore plus le décryptage effectué par Roland Franquart. Les deux particularités sur le même mot, dans deux éditions différentes, se renforcent mutuellement, et encore davantage quand elles sont ajoutées aux cinq autres dans l'«OBSERVATIO», et toujours plus quand elles sont ajoutées à celles présentes dans sa correspondance.

Des commentateurs ont parfois été animés d'une compulsion d'avoir raison. D'où vient cette incapacité à se défaire de ses préjugés les plus ancrés ? Cette crainte terrible d'avoir tort, quelle pourrait en être la cause première ? Cette peur de perdre un moi alimenté par des décennies de méconnaissance de soi, qui a façonné une personnalité rigide, les rend inaptes à une analyse rigoureuse et les place dans une position de défense agressive rassurante pour l'égo. Ils continuent ainsi d'alimenter les rumeurs les plus triviales, incapables de comprendre qu'ils ont été bernés de la plus subtile des manières par un génie universel. Dans le passé déjà « des mathématiciens qui avaient fait de vains efforts pour démontrer les théorèmes trouvés par Fermat ont voulu jeter quelque doute sur la réalité des démonstrations qu’il déclarait posséder, et ils ont supposé que ce grand géomètre était parvenu à certains résultats plutôt par induction et un peu au hasard que par une analyse rigoureuse de la question » (Libri).

« Les savants font la guerre aux préjugés populaires, sans s'apercevoir qu'ils sont eux-mêmes tout pleins de préjugés pour le moins aussi nombreux, quoique différents, et bien plus dangereux pour la société. [...] » (Auguste Guyard, Quintessences, 1847).

À moins d'avoir pris le temps d'étudier cette énigme  et sa très longue histoire avec tout le discernement requis et un esprit critique en constante alerte, il est difficile de comprendre comment des intellects français ont pu prétendre dépasser en intelligence le plus grand génie mathématicien du dix-septième siècle, leur compatriote qui plus est. Ainsi pour René Descartes, qui ne pouvait suivre Fermat et le jalousait, et dont l'anagramme Tendre caresse témoigne ration-elle-ment de sa jalousie envers Fermat. Les mathématiciens français ont été, et sont toujours, les plus responsables de cette imposture scientifique. Jusque dans l'histoire du théorème qui a généré le plus d'études au monde, ce sont encore trois Français, René Descartes, André Weil et Jean Itard qui ont été les plus désobligeants envers leur compatriote. Cette histoire ressemble à une assemblée de coqs de villages en lutte contre le plus grand génie mathématique de la nation, (peut-être aussi du monde si l'on suit Pascal), pour savoir lequel est réellement le plus intelligent.  Si l'on sait répondre à la question : « Pourquoi les mathématiciens français sont-ils ceux qui ont été les plus méprisants, davantage encore que les Anglais, envers Pierre de Fermat ? » on comprendra mieux que l'obstination des détracteurs a de beaux jours devant elle. Et à qui se demanderait quelle apogée pourrait atteindre un jour une légende urbaine aussi enracinée et aussi nécessaire aux besoins de ces demi-habiles, nous répondrons simplement : un silence assourdissant.

Un léger désaccord

● Blaise Pascal écrivant à Pierre Fermat :

« Voilà, monsieur, tout l’état de ma vie présente, dont je suis obligé de vous rendre compte, pour vous assurer de l’impossibilité où je suis de recevoir l’honneur que vous daignez m’offrir, et que je souhaite de tout mon cœur de pouvoir un jour reconnaître, ou en vous, ou en messieurs vos enfants, auxquels je suis tout dévoué ayant une vénération particulière pour ceux qui portent le nom du premier homme du monde. »

● Jean Itard en 1950 : « Jamais Fermat n’a été en possession d’une preuve de son Grand Théorème pour un exposant supérieur ou égal à cinq. »

M.P.E.A.S

Fermat a publié un seul ouvrage, un traité de géométrie sur les courbes et les droites en 1660, De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione dissertatio geometrica. Encore de l'a-t-il pas publié sous son, sur la couverture de l'ouvrage, à la suite du titre, la signature se présente ainsi :

Autore M. P. E. A. S. (suit un ajout de bibliothécaire : ‘’de ferm’’, pour ‘’de Fermat’’). Puis sous l’image : TOLOSÆ. Voici ce qu’on en disait en 2001 (page viii), dans l’ouvrage 17 Lectures on Fermat Numbers – From Numbers Theory to Geometry (Société mathématique du Canada, Editions Springer) : « Indeed, he published only one important manuscrit during his lifetime, and signed it using the cryptic initials : M. P. E. A. S. Their meaning remains inexplicably unknown. »

« En effet, il a publié un seul manuscrit important au cours de sa vie, et l’a signé de ces initiales énigmatiques : M. P. E. A. S. Leur sens reste inexplicablement inconnu. » Sur la première page de l'ouvrage on lit une note du ''typographe au lecteur'' qui commence par ces mots latins : « C^VM Dissertatio ista… ».(Notons que contrairement à ce que Fermat a écrit sur sa fameuse note , l'usage courant est ici respecté, dans le premier mot du paragraphe l'exposant figure en capitales d'imprimerie). Voici la traduction de cette note par Roland Franquart  :

LE TYPOGRAPHE AU LECTEUR.

Lorsque cette Discussion, qui parvint en nos mains il y peu de temps sous le nom occulté de l’Auteur, ouvrit une nouvelle voie, facile de l’avis de géomètres experts, pour la mesure des lignes courbes ; j’ai imaginé, mis à part le passage par la Géométrie, ce qui perdurerait dans l’esprit du public ; voilà pourquoi, sous notre presse, j'ai pris soin de publier en abrégé une fonction officielle. Sois fort (lecteur !)

 L'explication de Roland Franquart en 2014 sur la signature M. P. E. A. S, surtout si l'on considère les mots : « publier en abrégé une fonction officielle », semble pertinente.  : Magistro Procuratore Enodare Apud Sedem (TOLOSÆ)  → Magistrat Procureur Enquêteur Au Siège (TOULOUSE). Cette signature si tangiblement codée montre elle aussi la prédilection de Fermat pour le cryptage. 

 Conte à guérir, conte à grandir

Des mathématiciens ont prétendu que « toutes les démonstrations auxquelles Fermat aurait pu penser à son époque échouent ». Comment peuvent-ils connaître tout le savoir de Fermat, génie universel encensé par Pascal, autre génie ? Par excès de confiance en eux-mêmes ils pensent que Fermat (« le plus grand homme du monde »), qui s'était attaché seul, sans influence extérieure, dans une passion quasi métaphysique, à sonder les plus grands mystères des nombres, qui a initié les plus grands progrès en théorie des nombres, était doté d'un discernement inférieur au leur. Dans quel aveuglement peuvent être entraînés des scientifiques réputés ayant la académique... Fermat a décidément fait un choix judicieux en restant très discret sur ses plus grandes découvertes. Pour ces scientifiques voici un un petit conte qui se propose d'illustrer la sottise d'un tel “argument”.

Un jour incertain de l’année 202. , dans les sous-sols d’une unité de recherche menacée de dissolution pour cause de dépenses inconsidérées et d'un manque criant de résultats, une expérience unique est rondement menée. Des savants ont l’idée d’utiliser un prototype d’ordinateur à logique floue qui donne de grandes espérances. Après y avoir entré un maximum de données concernant Fermat et son Grand Théorème, ils ont demandé à l’ordinateur, qui d'après eux pouvait ainsi connaître les pensées les plus profondes de Fermat, si ce dernier aurait pu avoir une preuve. Le professeur Gonzalezova raconte : La machine tournait, tournait, tournait, de temps en temps émettait un “Gloups !” ou un “Eh ?”, c’est tout ce qu’on en tirait. C’est Jean Neymar qui a eu l’idée de dire à la machine : Tu sais ce que la grand savant André Weil a dit ? Il a dit : « Jusqu’en 1638, la correspondance de Fermat le montre comme le plus inexpérimenté des novices en théorie des nombres. » C’est à ce moment-là que le bouzin a commencé à bugger. Pas longtemps, toutes les lumières du labo se sont subitement éteintes en même temps que la machine rendait l’âme. Lalampe est parti rétablir le courant, on a bu un verre ou deux pour s’éclaircir les idées, fumé un joint, et on a commencé à réfléchir calmement. Tout d’un coup le visage de Lalampe s’est éclairé : « Et si Fermat n’avait jamais prouvé le cas particulier n=3, comme tous l’ont affirmé ? » On a trouvé l’idée assez géniale, vu qu'elle étayait la théorie de André Weil. Christiane s’est empressée d’aller chercher le prototype 02, identique en tous points au premier, et l’a posé à côté du défunt. Elle nous regardait mais nous on préférait faire durer le plaisir, on était bien, complètement relaxés, et on était quasiment sûrs du résultat. Folalié est le plus impatient du groupe, dès que la machine commence à gloupser!, il lui dit qu’« elle est bête, le cas n=3 n’a été prouvé qu’un siècle après la mort de Fermat ». La machine semble un peu pensive puis une vidéo s’affiche, c’est Einstein qui se gratte la tête. Folalié reprend : « T’inquiète, Einstein est dépassé, tu sais faire beaucoup mieux. » Cette fois c’est une photo, le grand sourire de Julia Roberts. L’imprimante ronronne deux secondes et lâche sa preuve en 9 exemplaires : « Fermat n’a prouvé aucune de ses conjectures et n'a jamais rien écrit dans une marge. C’est son fils qui les a écrites et toutes démontrées, de la première à la dernière. »
On est restés sur le c...alcul. On a mis tous les protos à la benne.

Bilan de la Recherche

— Les arguments avancés par les détracteurs de Fermat sont au nombre de 6 et nous avons vu qu'aucun n'était réaliste. Tous peuvent d'ailleurs être renversés en devenant des arguments au bénéfice de Fermat.

— Les arguments favorables à une preuve par Fermat et mis au jour dans cette étude sont :

• Dans l'observation relative au grand théorème :

1) Cette observation est la seule des 48 dont le titre ne soit pas abrégé en D.P.F. mais écrit en toutes lettres.

2) C^Vbum, . L’exposant n’est pas écrit selon la règle habituelle.

3) Une première version avec un ‘’detexi’’ différent (‘’detexi’’).

4) Une deuxième version avec un ‘’detexi’’ différent (‘’detexs’’).

5) ‘’detexi’’ ne signifie pas ‘’j’ai trouvé’’ mais ‘’j’ai [assurément) dévoilé’’, ‘’mis à nu’’, ‘’mis à découvert’’.

6) ‘’detexṡ’’ (= detexis )se traduit exactement par ‘’tu tisses complètement’’. Or l’expression "j'en ai entièrement tissé", sur l'édition de Rome, avait déjà été trouvée grâce à un autre codage (plus complexe) découvert dans l’observation par Roland Franquart sur l'édition de Lyon. Les deux occurrences se renforcent mutuellement.

7) L’adverbe ‘’sane’’ (assurément), par la façon inhabituelle dont il est placé, s’applique à la fois à ‘’detexi ‘’ (‘’assurément dévoilé),

8) et à ‘’mirabilem’’ (réellement admirable, ou merveilleuse).

9) Le point qui suit le mot detexi est grossi (différent du point final) dans les 3 éditions pour mettre encore l’accent sur le mot detexi.

10) Ludivine Goupillaud, ancienne chercheuse et dorénavant enseignante, a noté avant nous que Pierre de Fermat prend « le risque de l’ellipse énigmatique ou du cryptage ».

11) La répétition dans l’observation, d'abord des couples de lettres ‘’tu’’ (3 fois), puis ‘’ut’’ (2 fois).

12) On trouve a dans l’observation 21 u (et u est la 21^e lettre de l’alphabet), et seulement 19 t (mais t est la 20^e, il manque donc un t, la cause en étant ici : «non caperet» (ne contiendrait pas ce ‘’t’’, ‘’t’’ qui a été mis en évidence dans ‘’detexi’’ et entre en compte dans l'exploitation par R.F. du triangle arithmétique (l’explication détaillée figure sur son site).

13) Ces singularités on permis à R.F. de « tisser complètement » l’explication donnée par Fermat.

• Sur les “ Nombres de Fermat ” :

14) La lettre à Carcavi que d’aucuns ont interprété d’une façon manifestement orientée et non pertinente, n’est pas reprise dans les Varia.

15) Elle est aussi absente des observations de l'Arithmetica de 1670, toutes prouvées exactes par la suite.

16) Fermat écrit « j’ai considéré », et non « j’ai démontré que ».

17) Fermat utilise l’expression ‘’questions négatives’’, ce qu’il ne fait qu’exceptionnellement, l’expression consacrée étant ‘’propositions négatives’’. Ce qui  dans le contexte suggère facilement un double sens, ‘’la réponse à cette question est négative’’.

18) L'agencement de formulations singulières dans l'entièreté du paragraphe permet une deuxième lecture :  nous avons vu précédemment que la phrase « Cette dernière question est d’une très subtile et très ingénieuse recherche […] » (avec deux adjectifs synonymes qui font doublon), suggère que l'étude de cette question, dans son contexte et avec une formulation aussi particulière, est pour le lecteur d’une très subtile et très ingénieuse recherche.

19) Les mathématiciens s’accordent à dire que Fermat connaissait la méthode à mettre en œuvre (diviseurs de la forme 64 + 1) montrant que ces “nombres de Fermat” ne sont pas premiers.

20) Nous avons vu que la lettre à Mersenne de juin (?) 1640 où Fermat utilise la même méthode mais avec les diviseurs de la forme 74k+1 cette fois, son fils l’omet elle aussi des Varia.

21) Fermat évoque la fameuse fausse conjecture... à 6 reprises sur une période de... 19 ans... à tous ses correspondants (...) sur une période de 19 ans (…), et leur réclame de l'aide (!).

22) Lettre à Frenicle de Bessy (18 octobre 1640) : « [… ] car par avance je vous avertis que, comme je ne suis pas capable de m'attribuer plus que je ne sais, je dis avec la même franchise ce que je ne sais pas [...] » : Cette lettre, la seule que Samuel choisit pour l’insérer dans les Varia, est celle où son père dit être toujours honnête. On peut donc la mettre rapport avec l’observation concernant le grand théorème. (i.e. il faut prendre au sérieux son observation).

23) Les observations n'auraient pu tenir dans une marge, certaines d'entre elles sont beaucoup trop longues..

24) Le style utilisé par Fermat dans ses 48 observations (écrites où ?) montre à l'évidence qu'elles ont été rédigées à l'attention du lecteur.

25) Samuel n'a pas conservé l'exemplaire de l’Arithmetica où étaient censées les 48 observations de son père, cet ouvrage aurait acquis une valeur historique considérable mais il a “disparu”.

26) Le 29 août 1654, Fermat écrit à Pascal : « Nos pensées s’ajustent si exactement […] vos derniers traités du Triangle arithmétique et de son application en sont une preuve authentique […]. » Or la thèse que développe Roland Franquart est précisément basée sur le triangle arithmétique.

(.../...)

Nous dénombrons ici 26 arguments en faveur de l'existence d'une preuve par Fermat de son grand théorème. Il en existe quelques autres moins directs, qui relèvent davantage de la pure psychologie, et que nous avons plus ou moins abordé dans cette étude. Parmi eux, un argument que nous jugeons très important et que nous avons développé dans la section ''« L’historien ne doit rien refuser d’entendre »,'' à propos de sa démonstration complète du ''théorème de Fermat sur les triangles rectangles'' qui contient la preuve du cas particulier ''n=4''. Or Fermat passe cela sous silence. Nous écrivions en conclusion ce qu'il fallait en comprendre : il sait de quoi il parle et nous le fait savoir.

Quant aux 7 arguments avancés par les détracteurs de Fermat, aucun d'eux ne nous paraît recevable (quelques uns sont d'ailleurs absurdes, en particulier celui affirmant que ses 48 observations n'avaient pas été écrites à l'intention du lecteur). Cette disproportion est d'autant plus significative que nous avons montré combien un des principaux arguments de ses détracteurs – sur la fausse conjecture des nombres de Fermat – non seulement était illusoire mais au contraire illustrait notre thèse.

Aucune pensée ne saurait rendre la sublimité des prouesses de Fermat se déployant dans les ténèbres de l’inconscience académique. La sottise révélée par la pensée unique qui a accompagné toute l’épopée du Dernier Théorème de Fermat en a fait la légende urbaine la plus rocambolesque.

« Il est plus facile de briser un atome que de briser un préjugé. » Albert E.

Moralité

« L’intelligence collective est un effort surhumain. » Louis-Ferdinand Céline

Quand un scientifique, un politicien, un philosophe, multiplie articles et plateaux télé pour tenter de faire croire que ce qu’il affirme est la vérité vraie, il est important de chercher les raisons personnelles qu'il aurait pu avoir pour diffuser le plus largement possible sa théorie. Celui qui a l’intelligence du réalisme comprendra que jamais rien ne viendra ébranler la satisfaction de la communauté académique d’avoir « conquis l’Everest avec des fusées de la NASA. »

Par le plus grand des hasards, le jour de mon anniversaire, en mai 2011, j'ai rencontré au cours d'une randonnée un mathématicien – le printemps est l'époque où les intellectuels prennent l'air – chez qui je perçus très vite les compétences et l’autorité du grand professionnel. Nous discutions de choses et d'autres, l'ambiance dans le groupe était comme d'habitude très sympathique. À un moment je me risquai à l’informer des découvertes de Roland Franquart et lui donnai le lien web adéquat. Puis je lui dis (c’était le sens en tout cas) : « Nos mathématiciens disposent d’outils très complexes, ils sont peu enclins, comme le faisaient les Anciens, comme le faisait Fermat, à jongler avec les notions les plus fondamentales. » Il me répliqua : « Oh non ! » La suite de ses réponses à mes questions fut un royal enfumage qu'il serait discourtois de rapporter ici. Je n’ai pas insisté.

Le mathématicien Christophe Breuil nous livre quelques réflexions qui aident à comprendre la psychologie du savant. « Voici par exemple une autre petite histoire (encore une boutade) que je tiens d’un autre collègue moins jeune (mais non moins brillant). Pour savoir si le résultat nouveau que l’on vient d’obtenir est intéressant, il faut s’y prendre de la façon suivante : 1) Modestement l’expliquer à un grand expert du sujet. 2) Analyser sa réaction : s’il est content, le résultat n’a probablement que peu d’intérêt, mais s’il fait la tête, alors tout espoir est permis ! Tel peut sembler être le « destin » des mathématiciens : celui de s’attaquer à des problèmes surhumains qui suscitent indifférence et incompréhension du monde extérieur. Mais il y a les maths elles-mêmes, leurs objets et structures d’une infinie richesse, leurs beaux et puissants concepts, leur profonde unité, perpétuelle source de renouvellement et de rajeunissement ! » « Tout chercheur vous dira que les considérations d’ordre affectif ou égocentrique (et plus généralement les considérations “humaines”) viennent immanquablement troubler le cours limpide d’un raisonnement logique, ou embrumer une intuition mathématique en train de prendre forme. » [4]

Je suis encore à ce jour (de moins en moins) estomaqué que l'immense mathématicien qu'était André Weil ait cru bon de nier que Fermat ait pu avoir une preuve, avec des arguments tels que celui-ci : « How could he have guessed that he was writing for eternity? » (‘’An approach through history from Hammurapi to Legendre‘’, 2010, p. 104). Weil pense donc que les 48 Observations de Fermat étaient destinées à son seul usage personnel. Fermat aurait donc éprouvé le besoin de s'expliquer à lui-même qu'il a réellement mis à nu une démonstration tout à fait étonnante ! Même si Weil ne disposait pas d'une bonne traduction, cette déclaration est quand-même étonnante (ou non...) de la part d’un aussi grand savant. Il est vrai qu'il avait une assez haute estime de lui-même et que vis-à-vis de Grothendieck en particulier, de l'avis même de ce dernier, il n'a pas été vraiment bienveillant. Quand il est question de prestige personnel, on n'est parfois pas très tendres entre savants. L'historien Jean Itard quant à lui s’en était pris à Fermat en 1950 (année de ma naissance ) avec cette affirmation cassante : « Jamais Fermat n’a été en possession d’une preuve de son Grand Théorème ». Bonjour l'ambiance. D’autres considérations peuvent expliquer le sentiment de Weil : « Dans sa jeunesse André WEIL espérait la démontrer avant la date du centenaire et la publier en 1959. Il a éclaté de rire le jour où, après la publication de ses Œuvres complètes, je lui ait fait observer que s’il en trouvait finalement une démonstration en quinze pages, Springer-Verlag serait obligé d’ajouter un très mince volume à son édition. » (Roger Godement, Analyse mathématique IV, Ed. Springer-Verlag, 2003, p 281, note 4). Pour mémoire, il a suffi de deux pages à Fermat, ou plutôt trois lignes et demie. Moralité : le sourire est plus spirituel que le rire. « Il est vrai que le regard intérieur ne fait malheureusement pas partie de l’épistémologie scientifique actuelle ».  André Weil fut l'un des mathématiciens qui par leurs travaux ont considérablement aidé celui de Wiles. Il ne pouvait qu’être fier d’avoir contribué à la preuve trouvée en 1994 par ce dernier. De là à sous-estimer les capacités de Fermat…

Je vous donne ma parole que ce qui suit est vrai. Un responsable de l’Agence France-Presse s’était étonné en 2009 qu’aucun des journalistes scientifiques auxquels on avait présenté les découvertes de Roland Franquart n’ait souhaité donner suite. Est-ce que vous êtes étonné(e), vous ? Si non, alors peut-être avez-vous aussi compris que ce monde n’aurait pu être fait meilleur qu’il l’a été. Si ce modeste essai pouvait encourager de jeunes chercheurs (et rassurer des anciens) à comprendre combien le panurgisme contrarie le discernement et l'initiative personnelle, il aurait atteint son but.

Citons Évariste Galois (1811-1832) : « Je rêve d'un jour où l'égoïsme ne régnera plus dans les sciences, où on s'associera pour étudier ; au lieu d'envoyer aux académiciens des plis cachetés, on s'empressera de publier ses moindres observations pour peu qu'elles soient nouvelles, et on ajoutera ‘’je ne sais pas le reste’’. »

Et Simon Singh : « Le culte du secret chez les mathématiciens parisiens était une tradition qui remontait aux cossistes du seizième siècle. Ceux-ci étaient des experts en calculs divers employés par les marchands et les hommes d’argent pour résoudre leurs problèmes de comptabilité. […]. Quand le mathématicien et philosophe Marin MERSENNE arriva à Paris, il résolut de combattre la conspiration du silence et tenta de persuader les mathématiciens d’échanger leurs idées et de se servir les uns des idées des autres. Il organisa des rencontres régulières entre eux et son groupe constitua même le noyau de l’Académie des sciences. »

Fermat par sa célèbre observation a laissé aux savants ce qu’ils n’ont pris que pour une plaisanterie, alors qu'elle est surtout une preuve puissamment codée. J'ai toutes les raisons de penser qu'il a exploré, et réussi à suivre jusqu'au bout, une piste complètement inattendue, celle du triangle arithmétique, à laquelle avait déjà pensé Laurent Hua. C’est en quittant ce monde sans la dévoiler complètement que 5 ans plus tard grâce à son fils il entrera dans la légende.

Mettons-nous dans la tête d'un mathématicien du XVIII^e siècle (ou suivant) ouvert d'esprit. Observons-le qui lit l'observation de Fermat dans une édition semblable à celle de Lyon (sur le mot detexi, une tache soigneusement exécutée, qui dans le contexte appelle la lettre ‘t’). Il réfléchit ainsi : « C'est vraiment bizarre cette tache, personne ne s'en étonne, et pourtant Samuel de Fermat a retranscrit fidèlement les 48 observations de son père. Pourquoi donc cette anomalie ? ». Mais notre homme n’est pas un fin connaisseur de la langue latine, il s'en tient à une traduction approximative (toutes le furent). Il ne voit pas non plus l’autre anomalie dans le premier mot de la note. Son seul indice c’est une tache ; à la rigueur il peut noter que le point qui suit detexi est surchargé, lui aussi. Comment pourrait-il envisager que Fermat ait pu cacher de nombreux autres indices dans son texte, pour finalement réussir le tour de passe-passe de mettre à nu sa preuve à l’aide de seulement trois lignes et demie écrites en latin, « marqueur du sublime par excellence » ? C’est surtout cette dernière question, que les commentateurs n’ont jamais pu, jamais osé, imaginer. Reconnaissons à leur décharge que Fermat a tout fait pour qu’il en soit ainsi. Il y a de quoi être vexé de n’avoir jamais su lire ce qu’a écrit Fermat. N’avoir pas pensé à faire appel à un latiniste pour traduire exactement l’ ‘’OBSERVATIO DOMINI PETRI DE FERMAT’’. Pouvez-vous imaginer un mathématicien contemporain clamer : « On s’est trompés ! Fermat s’est fichu de nous une fois de plus, il avait caché sa démo dans sa note ! » ? (moi je ne peux pas).

Anagrammes ébouriffantes

• Petri de Fermat  → permettra défi dernier théorème,  → étreindre Homère. Pierre de Fermat  → préféra méditer.
• Prince des amateurs → persécutera admins [de l’Académie] (Mais non voyons ! Il avait autre chose à faire qu'accabler d'illustres lettrés !), ⇔ précédera tsunamis, ⇔ sectarisme répandu. ⇔ [Mais ] diamants récupérés.
• Le Prince des amateurs → réussira déplacement ⇔ parlementaires déçus.
• La légende urbaine rendue inégalable.

En latin le ‘i’ s’écrivait parfois ‘j’ (tout comme le ‘u’ s’écrivait parfois ‘v’). Dans l'espace laissé vide à la fin de sa note, Fermat aurait eu exactement place pour une fois d’écrire une anagramme prémonitoire sous les mots :

• « i demonstrationem mirabilem sane detexi » →
•  « j’immortalisai anxiétés de dénombrement », mais des esprits chagrins et jaloux de Fermat, à l’instar de Descartes, auraient encore moqué ce ‘Gascon’, ce ‘fanfaron’...

Le mathématicien anglais John Wallis n’appréciait guère les manières de Pierre de Fermat, qui prenait un malin plaisir à défier les Anglais et s’étonnait de son mépris envers les problèmes qu'il lui soumettait. Retirons une aile à Wallis, ce qui nous donne Walis. Il suffit maintenant de remplacer le ‘’i’’ par un ‘’e’’ (le son ‘’i’’ correspond en anglais à la lettre ‘’e’’ → Welis, qui est l’anagramme de Wiles, britannique lui aussi, qui trouva une preuve extrêmement complexe du Grand théorème et ne pense pas que Fermat ait pu trouver une preuve avec ses propres outils  (« Je pense qu’il s’est trompé en disant qu’il avait une preuve »). L’anecdote est d'autant plus savoureuse que les astuces les plus importantes du Français Fermat ont pu être retrouvées par le Français Franquart Roland (on dirait des RRRugissements). Impossible en revanche de trouver la moindre anagramme à ‘’Roland Franquart’’, remplaçons alors les 3 “R” par 3 “E” :

•  Franquart Roland  → Adonné Quête ALFA (Agence de Lutte contre la Fraude dans les Arts). 

Epilogue

Qu’y a-t-il d’étonnant à ce que Fermat, grand pédagogue et fin psychologue, ait réservé un statut très spécial à son théorème le plus difficile, n’en parlant jamais à quiconque de son vivant à part à son fils. Amusons-nous encore un moment, Fermat écrit que la marge ne contiendrait pas son explication, qui pourtant dans son observation ne comporte que trois lignes. Que n’aurait-on pensé s’il avait écrit, au lieu de prétexter le manque de place : « Je pourrais bien vous en donner l’explication très détaillée, mais j’ai travaillé pour trouver cette preuve vraiment merveilleuse, qui sort complètement des sentiers battus. Vous devez donc travailler, vous aussi, vous vous apercevrez que quand un obstacle est insurmontable, il est toujours possible de le contourner. La meilleure façon de faire avancer la science ne consiste pas à vouloir à tout prix chercher une solution à un problème difficile, mais à s’engouffrer dans des chemins encore jamais explorés qu’il semble nous suggérer ; à y cheminer pour s'y enrichir. C’est ainsi que l’on parvient à percer les plus grands mystères, et que soudain sans qu’on s’y attende, la solution apparaît. Car le problème ne réside pas tant dans le problème lui-même, que dans la façon dont on se le pose. »

Piet Hein posera trois siècles plus tard :

« Un problème digne d'attaque prouve sa valeur en ripostant. »

351 ans de recherches inabouties depuis la publication de l’Arithmetica sur l'éventuelle preuve de Fermat ont très mal engagé l'affaire, certainement destinée à ne jamais aboutir, mais une énigme en suspens a bien plus d’attrait qu’une énigme résolue. Le minimum que nous pouvions faire ici était de saluer la pédagogie du Prince des amateurs. Méditer sur cette énigme, sur son histoire, sur ses acteurs, interrogatifs ou péremptoires, est instructif pour le chercheur en quête de vérité historique ou s'intéressant aux légendes urbaines. Tous les mathématiciens qui auraient pu suivre Fermat dans ses recherches l’avaient définitivement lâché : ses apports à la science des nombres et ses mérites ne purent être considérés à leur juste valeur. Comment ne pas en ressentir quelque dépit ? Que fait un professeur quand tous ses élèves, les uns après les autres, quittent le cours ? Que fait un savant que nul ne veut plus suivre, quand l’âge vient et que la santé décline ? Quelle ressource reste-t-il à un pédagogue qui a toujours ardemment souhaité que la connaissance progresse ? Sa démarche a toujours été la stimulation réciproque, il ne va pas en changer. Pour ceux qui peut-être accepteront de reprendre le flambeau, sans leur mâcher le travail il livre 48 brèves et précieuses observations. Parfois il n'a pas la place, parfois il manque de temps pour exposer une démonstration (toujours admirable) de ce qu’il avance. De très rares fois il nous a livré des démonstrations complètes. Les mathématiciens, occupés chacun de leur côté, ne s'intéressent plus du tout à une preuve de Fermat et ont définitivement clos une histoire déjà trop longue à leur goût. Le destin a fait que Fermat et Pascal ne puissent se rencontrer en 1660, le même destin suggère que l'énigme (son aspect mathématique) ne sera jamais entièrement comprise, a fortiori admise.

Gardons-nous de sous-estimer Fermat, de minimiser son discernement. Il était conscient qu’on pouvait le prendre pour un vantard (il en a joué) avec ses façons peu orthodoxes et provocantes. Si la rencontre avec Pascal ne put se faire, la lettre nous est restée. La plus célèbre de ses ‘’observations‘’, Fermat pensait-il qu'il faudrait autant de temps  pour découvrir qu'elle était cryptée et qu’une explication, hermétique à l'extrême, y était cachée ?

Postulat de Fermat — « Mais que ce soit un pré carré en deux prés carrés ou un quarteron en deux quarterons & en général jusqu'à l’infini, aucune puissance supérieure au binôme ne pourra être partagée en deux autres d’avis contraire. Une admirable démonstration en sera faite par ceux qui voudront me suivre. »

(Note :  Si Fermat n’a jamais formulé ce postulat, cette étude soutient l’idée qu'il résume sa démarche).

À première vue il semble incroyable qu'il ait fallu attendre 3 siècles et 38 ans pour que ce soit un amateur, ancien militaire expérimentateur des radars-sol, qui ait l'idée d'aller observer l'OBSEVATIO de Fermat de près, « à la loupe ». Il est vrai qu'un bon militaire possède certaines qualités : Rigueur, curiosité, efficacité, honnêteté, esprit de corps, formation continue. Ce chercheur tenace, Roland Franquart, fut l’auteur de « Commutation des voies radar-Fizeau par découpage des échos des voies linéaires » et de « ;Contrôle de la superposition des vidéos radars primaires », qui fut intégré par l’industriel aux Programmes Opérationnels de l’Armée de l’Air.

Fermat lança parmi les âges
un court et merveilleux message
qui sans besoin de tant de pages
instruira fort tout homme sage. Un jour conclurait-on ces pages ?
Non ! Fi des images ! Et fi des pages !
Insensés ! Fous ! qui ne voyez au voisinage
que des histoires d’un autre âge.

Qu’elles soient codages, qu’elles soient messages
elles ne le sont que pour les sages.

Fermat, ami, si tu es là, as-tu quelque chose à nous dire ?
Tu ne dis rien bien entendu
peut-être même que tu souris
tu vois ces hommes comme je les vois
eux ne voient pas ce que tu vois.

Moi j’ai compris ton beau message
avant les nuages
après l’orage.

Le site de Roland Franquart : franquart.fr

Cette étude est comme un devoir de mémoire. Sur mon site personnel je peux voir dans les statistiques de consultation qu'en juin 2021 les États-Unis sont passés devant la Chine où elle était vue très régulièrement. Je suis quand même un peu étonné des fréquentes consultations par la Chine même si la calligraphie chinoise, très complexe, est aussi très symbolique, les Chinois sont des gens très subtils et fort habiles, et les scientifiques sont anglophones. Après la Chine viennent la France, le Canada et 16 autres pays. Un mauvais point pour le Japon, avec très peu de visites, et surtout pour la Grande Bretagne, ce qu'on peux aisément comprendre .

Quelques anecdotes liées au théorème

* La plus romantique des histoires raconte que Paul Friedrich Wolfskehl (1956-1906), un médecin, était tombé en amour d’une fort jolie femme, mais que celle-ci rejeta ses avances. Désespéré il décida de se suicider, fixa le jour, et l’heure. Il mit ses affaires en ordre avant le grand départ, rédigea lettres et testament. Le dernier jour arriva. Comme il lui restait du temps avant l’heure fatidique, il en profita pour étudier des calculs de Kummer, qui expliquaient pourquoi Lamé et Cauchy avaient échoué dans leur tentative sur le Fermat. Croyant avoir découvert une faille dans l’exposé, il se mit assidûment à la tâche pour tenter de la combler, mais réalisa finalement que le raisonnement était bon. L’aube était déjà là, minuit était passé, l’heure du suicide aussi. Mais que les mathématiques sont belles ! Il renonce finalement à son funeste projet. Cette histoire est une de celles qui courent sur Paul Wolfskehl. Ce qui est certain c'est que souffrant de sclérose en plaques il dut renoncer à la carrière de médecin et se tourner vers les mathématiques. Son doctorat en poche (probablement obtenu en 1880) il s’intéressa au Fermat. Après la publication du nouveau Diophante par Samuel en 1670, les mathématiciens, subjugués par la simplicité trompeuse du théorème, avaient en effet commencé à s’en passionner. Plus le temps passait, plus ils faisaient des progrès, mais on ne trouvait toujours pas de preuve. Deux siècles passèrent et on se persuada que Fermat ne pouvait avoir trouvé. Paul Wolfskehl, auquel les mathématiques avaient redonné le goût de vivre, décida de rendre hommage au théorème qui lui avait sauvé la vie en offrant un prix de 100 000 marks à qui le démontrerait.

* Il a été rapporté qu’Euler aurait demandé à un ami de fouiller la maison de Fermat à la recherche d’indices sur ses démonstrations, dont celle du théorème.

* Au printemps de l'année 1994, alors que Wiles cherchait toujours à combler la faille dans sa démonstration et que l'affaire se présentait au plus mal, un message Internet courut sur les écrans d'ordinateur du monde entier :

Date : 03 avril 1994 Sujet : Encore Fermat ! « Il y a eu aujourd'hui un développement extraordinaire dans le Dernier théorème de Fermat. Noam Elkies a communiqué un contre-exemple, et donc le Dernier théorème de Fermat est faux en fin de compte ! (Etc.) ».

Noam Elkies, professeur à Harvard, avait déjà trouvé à l'âge de 22 ans, en 1988, un contre-exemple à la conjecture d'Euler, prouvant ainsi qu'elle était fausse. Le message Internet fut un coup terrible pour Wiles, il ne parviendrait donc jamais à redresser la situation. On bombarda Elkies de questions sans obtenir aucune explication. Puis un mathématicien s'intéressa de près à cette déclaration et on s'aperçut que si le message était bien daté du 3 avril, c'était parce qu'il avait été reçu de troisième main, le message était à l'origine daté du 1^er avril. Ce poisson d'avril toxique avait été imaginé par le mathématicien Henri Darmon. Cette mauvaise blague eut pourtant un effet salutaire, on cessa de diffuser hypothèses et ragots, et on laissa Wiles, Taylor, le théorème et la démonstration tranquilles pour un moment.

Ils ont dit

* Fermat à Roberval, 1637 :  « Au reste, quoi qu’on juge digne d’impression de moi, je ne veux pas que mon nom y paraisse. »
* À Mersenne :  « Nous trouvons souvent à tâtons et parmi les ténèbres ce que nous cherchons.
* À Mersenne :  « Les occupations que les procès nous donnent sur la tête m’ont empêché de pouvoir lire à loisir les Traités que vous m’avez fait la faveur de m’envoyer. »
* Frenicle à Fermat, 1641 :  « Les méthodes que vous donnez […] sont véritablement fort belles, et vous avez la méthode de si bien disposer vos règles, que cela leur donne une certaine grâce qui les fait encore agréer davantage. »
* Frenicle via Digby, à Fermat : « Jamais homme n’a approché votre fond de science.
* Fermat à Carcavi, 1650 : Je n’ajoute pas l’opération entière, pource que la longueur du travail me lasseroit. »
* René DESCARTES vers 1650 : « Monsieur Fermat est Gascon. Moy non.»
* Blaise PASCAL, Les Provinciales (la XII^e),  1656 : « Tous les efforts de la violence ne peuvent affaiblir la vérité, et ne servent qu’à la relever davantage. »
* Fermat à  Digby, 1657 :  « Le hasard et le bonheur se mêlent parfois aux combats de science aussi bien qu’aux autres. »
* Guglielmo LIBRI, 1845 : « Des mathématiciens qui avaient fait de vains efforts pour démontrer les théorèmes trouvés par Fermat ont voulu jeter quelque doute sur la réalité des démonstrations qu’il déclarait posséder, et ils ont supposé que ce grand géomètre était parvenu à certains résultats plutôt par induction et un peu au hasard que par une analyse rigoureuse de la question. »
*Eric Temple BELL : « En mathématiques, "évident" est le mot le plus dangereux. »
* Vers 1857, il a été rapporté un propos désobligeant de Ernst KUMMER envers le grand théorème, qui serait « une plaisanterie. »
* Ian STEWART, 1979 : « Les mathématiciens modernes ont quelque mal à croire que Fermat ait pu connaître quelque chose qui leur échappe encore – bien que, pour ma part, cela ne me surprendrait pas. »
* 1993. Jean BÉNABOU à Jacques ROUBAUD, après l'annonce (prématurée) de la découverte d'une preuve par Andrew WILES : « C’est comme si on avait conquis l’Everest avec des fusées de la Nasa »
* 1995. Pour Winfried SCHARLAU, Fermat s’est rendu compte qu’il s’était trompé, mais comme « sa conjecture était restée privée, il n’a pas eu à se rétracter.  »
* Andrew WILES, 2001  : « Je pense qu’il s’est trompé en disant qu’il avait une preuve. »
* G. SOUBEILLE dans P. FÉRON, Pierre de Fermat, un génie européen (2002) : « […] Fermat, qui se passionnait pour tout et conserva cette ambition d’un savoir encyclopédique propre aux esprits du siècle précédent, fut un de nos derniers humanistes […] ; dans un sens plus large, l’humaniste, en lui, reflétait sa confiance dans la raison et dans l’avenir de la science. Beaucoup plus géomètre que poète, il fut façonné par la rigueur et l’intelligence latines : c’est sur ce terreau que put s’épanouir son prodigieux génie des mathématiques. »
* 2008. David Ruelle, physicien mathématicien, non spécialiste de théorie des nombres ni de Fermat : « Pierre de Fermat pensait qu’il avait une preuve de cette affirmation mais il s’était sans doute trompé, et ce n’est qu’en 1995... »
* 2009. Roland FRANQUART : « Cette preuve de Fermat n’étant plus nécessaire aujourd’hui, était-elle suffisante en son temps ?  »
* Guglielmo LIBRI, 1845 : « Des mathématiciens qui avaient fait de vains efforts pour démontrer les théorèmes trouvés par Fermat ont voulu jeter quelque doute sur la réalité des démonstrations qu’il déclarait posséder, et ils ont supposé que ce grand géomètre était parvenu à certains résultats plutôt par induction et un peu au hasard que par une analyse rigoureuse de la question. »
*Eric Temple BELL : « En mathématiques, "évident" est le mot le plus dangereux. »
* Vers 1857, il a été rapporté un propos désobligeant de Ernst KUMMER envers le grand théorème, qui serait « une plaisanterie. »
* Ian STEWART, 1979 : « Les mathématiciens modernes ont quelque mal à croire que Fermat ait pu connaître quelque chose qui leur échappe encore – bien que, pour ma part, cela ne me surprendrait pas. »
* 1993. Jean BÉNABOU à Jacques ROUBAUD, après l'annonce (prématurée) de la découverte d'une preuve par Andrew WILES : « C’est comme si on avait conquis l’Everest avec des fusées de la Nasa »
* 1995. Pour Winfried SCHARLAU, Fermat s’est rendu compte qu’il s’était trompé, mais comme « sa conjecture était restée privée, il n’a pas eu à se rétracter.  »
* Andrew WILES, 2001  : « Je pense qu’il s’est trompé en disant qu’il avait une preuve. »
* G. SOUBEILLE dans P. FÉRON, Pierre de Fermat, un génie européen (2002) : « […] Fermat, qui se passionnait pour tout et conserva cette ambition d’un savoir encyclopédique propre aux esprits du siècle précédent, fut un de nos derniers humanistes […] ; dans un sens plus large, l’humaniste, en lui, reflétait sa confiance dans la raison et dans l’avenir de la science. Beaucoup plus géomètre que poète, il fut façonné par la rigueur et l’intelligence latines : c’est sur ce terreau que put s’épanouir son prodigieux génie des mathématiques. »
* 2008. David Ruelle, physicien mathématicien, non spécialiste de théorie des nombres ni de Pierre de Fermat : « Pierre de Fermat pensait qu’il avait une preuve de cette affirmation mais il s’était sans doute trompé, et ce n’est qu’en 1995... »
* 2009. Roland FRANQUART : « Cette preuve de Fermat n’étant plus nécessaire aujourd’hui, était-elle suffisante en son temps ?  »

* Guglielmo LIBRI, 1845 : « Des mathématiciens qui avaient fait de vains efforts pour démontrer les théorèmes trouvés par Fermat ont voulu jeter quelque doute sur la réalité des démonstrations qu’il déclarait posséder, et ils ont supposé que ce grand géomètre était parvenu à certains résultats plutôt par induction et un peu au hasard que par une analyse rigoureuse de la question. »
*Eric Temple BELL : « En mathématiques, "évident" est le mot le plus dangereux. »
* Vers 1857, il a été rapporté un propos désobligeant de Ernst KUMMER envers le grand théorème, qui serait « une plaisanterie. »
* Ian STEWART, 1979 : « Les mathématiciens modernes ont quelque mal à croire que Fermat ait pu connaître quelque chose qui leur échappe encore – bien que, pour ma part, cela ne me surprendrait pas. »
* 1993. Jean BÉNABOU à Jacques ROUBAUD, après l'annonce (prématurée) de la découverte d'une preuve par Andrew WILES : « C’est comme si on avait conquis l’Everest avec des fusées de la Nasa »
* 1995. Pour Winfried SCHARLAU, Fermat s’est rendu compte qu’il s’était trompé, mais comme « sa conjecture était restée privée, il n’a pas eu à se rétracter.  »
* Andrew WILES, 2001  : « Je pense qu’il s’est trompé en disant qu’il avait une preuve. »
* G. SOUBEILLE dans P. FÉRON, Pierre de Fermat, un génie européen (2002) : « […] Fermat, qui se passionnait pour tout et conserva cette ambition d’un savoir encyclopédique propre aux esprits du siècle précédent, fut un de nos derniers humanistes […] ; dans un sens plus large, l’humaniste, en lui, reflétait sa confiance dans la raison et dans l’avenir de la science. Beaucoup plus géomètre que poète, il fut façonné par la rigueur et l’intelligence latines : c’est sur ce terreau que put s’épanouir son prodigieux génie des mathématiques. »
* 2008. David Ruelle, physicien mathématicien, non spécialiste de théorie des nombres ni de Pierre de Fermat : « Pierre de Fermat pensait qu’il avait une preuve de cette affirmation mais il s’était sans doute trompé, et ce n’est qu’en 1995... »
* 2009. Roland FRANQUART : « Cette preuve de Fermat n’étant plus nécessaire aujourd’hui, était-elle suffisante en son temps ?  »

Lettre bilan de Fermat à Pierre de Carcavi, août 1659

RELATION DES NOUVELLES DÉCOUVERTES EN LA SCIENCE DES NOMBRES

 ... 1. Et pour ce que les méthodes ordinaires, qui sont dans les Livres, étoient insuffisantes à démontrer des propositions si difficiles, je trouvai enfin une route tout à fait singulière pour y parvenir. J'appelai cette manière de démontrer la descente infinie ou indéfinie, etc. ; je ne m'en servis au commencement que pour démontrer les propositions négatives, comme, par exemple :

Qu’il n’y a aucun nombre, moindre de l’unité qu’un multiple de 3, qui soit composé d’un carré et du triple d’un autre carré ;

Qu’il n'y a aucun triangle rectangle en nombres dont l'aire soit un nombre quarré. (Ndr : Voir Observ. XLV sur Diophante).

La preuve se fait par απαγωγην εις αδυνατον en cette manière :

S'il y avoit aucun triangle rectangle en nombres entiers qui eût son aire égale à un quarré, il y auroit un autre triangle moindre que celui-là qui auroit la même propriété. S'il y en avoit un second, moindre que le premier, qui eût la même propriété, il y en auroit, par un pareil raisonnement, un troisième, moindre que ce second, qui auroit la même propriété, et enfin un quatrième, un cinquième, etc. à l'infini en descendant. Or est-il qu'étant donné un nombre, il n'y en a point infinis en descendant moindres que celui-là (j'entends parler toujours des nombres entiers). D'où on conclut qu'il est donc impossible qu'il y ait aucun triangle rectangle dont l'aire soit quarrée. On infère de là qu'il n'y en a non plus en fractions dont l'aire soit quarrée; car, s'il y en avoit en fractions, il y en auroit en nombres entiers, ce qui ne peut pas être, comme il peut se prouver par la descente. Je n'ajoute pas la raison d'où j'infère que, s'il y avoit un triangle rectangle de cette nature, il y en aurait un autre de même nature, moindre que le premier, parce que le discours en seroit trop long et que c'est là tout le mystère de ma méthode. Je serai bien aise que les Pascal et les Roberval et tant d'autres savans la cherchent sur mon indication.

 2. Je fus longtemps sans pouvoir appliquer ma méthode aux questions affirmatives, parce que le tour et le biais pour y venir est beaucoup plus malaisé, que celui dont je me sers aux négatives. De sorte que lorsqu'il me fallut démontrer que tout nombre premier qui surpasse de l'unité un multiple de 4, est composé de deux quarrés, je me trouvai en belle peine. Mais enfin une méditation diverses fois réitérée me donna les lumières qui me manquoient, et les questions affirmatives passèrent par ma méthode, à l'aide de quelques nouveaux principes qu'il y fallut joindre par nécessité. Le progrès de mon raisonnement en ces questions affirmatives est tel : si un nombre Premier pris à discrétion, qui surpasse de l'unité un multiple de 4, n'est point composé de deux quarrés, il y a là un nombre premier de même nature, moindre que le donné, et ensuite un troisième encore moindre, etc. en descendant à l'infini jusques à ce que vous arriviez au nombre 5, qui est le moindre de tous ceux de cette nature, lequel il s'ensuivroit n'être pas composé de deux quarrés, ce qu'il est pourtant. D'où on doit inférer, par la déduction à l'impossible, que tous ceux de cette nature sont par conséquent composés de deux quarrés.

 3. Il y a infinies questions de cette espèce, mais il y en a quelques autres qui demandent des nouveaux principes pour y appliquer la descente, et la recherche en est quelques fois si malaisée qu'on peut n'y peut y venir qu'avec une peine extrême. Telle est la question suivante que Bachet sur Diophante avoue n'avoir jamais pu démontrer, sur le sujet de laquelle M. Descartes fait dans une de ses lettres la même déclaration, jusque-là qu'il confesse qu'il la juge si difficile qu'il ne voit point de voie pour la résoudre.

Tout nombre est carré ou composé de deux carrés, de trois ou quatre carrés.

Je l'ai enfin rangée sous ma méthode et je démontre que si un nombre n’étoit point de cette nature, il y en aurait un moindre qui le serait pas non plus, puis un troisième moindre que le second, etc., à l'infini d’où l'on infère que tous les nombres sont de cette nature.

 4. Celle que j’avois proposée à M. Frenicle et autres est d’aussi grande ou même plus grande difficulté : Tout nombre non q narré est de telle nature qu’il y a infinis quarrés qui, multipliant ledit nombre, font un quarré moins 1. Je la démontre par la descente appliquée d’une manière toute particulière. J’avoue que M. Frenicle a donné diverses solutions particulières et M. Wallis aussi, mais la démonstration générale se trouvera par la descente dûment et proprement appliquée : ce que je leur indique, afin qu’ils ajoutent la démonstration et construction générale du théorème et du problème aux solutions singulières qu’ils ont données.

 5. J’ai ensuite considéré certaines questions qui, bien que négatives, ne restent pas de recevoir très grande difficulté, la méthode pour y pratiquer la descente étant tout à fait diverse des précédentes, comme il sera aisé d’éprouver. Telles sont les suivantes :

Il n’y a aucun cube divisible en deux cubes. Il n’y a qu’un seul quarré en entiers qui, augmenté du binaire, fasse un cube. Le dit quarré est 25.Il n’y a que deux quarrés en entiers, lesquels, augmentés de 4, fassent un cube. Les dits quarrés sont 4 et 121. Toutes les puissances quarrées de 2, augmentées de l'unité, sont nombres premiers.

Cette dernière question est d’une très subtile et très ingénieuse recherche et, bien qu’elle soit conçue affirmativement, elle est négative, puisque dire qu’un nombre est premier, c’est dire qu’il ne peut être divisé par aucun nombre. Je mets en cet endroit la question suivante dont j’ai envoyé la démonstration à M. Frenicle, après qu’il m’a avoué et qu’il a même témoigné dans son Écrit imprimé qu’il n’a pu la trouver :

Il n’y a que les deux nombres 1 et 7 qui, étant moindres de l’unité qu’un double quarré, fassent un carré de même nature, c'est-à-dire qui soit moindre de l’unité qu’un double quarré.

 6. Après avoir couru toutes ces questions, la plupart de diverse nature et de différente façon de démontrer, j’ai passé à l’invention des règles générales pour résoudre les équations simples et doubles du Diophante. On propose, par exemple,

2Q + 7967 égaux à un quarré.

J’ai une règle générale pour résoudre cette équation, si elle est possible, ou découvrir son impossibilité, et ainsi en tous les cas et en tous nombres tant des quarrés que des unités. On propose cette équation double :    2N + 3       et       2N + 5 égaux chacun à un quarré. Bachet se glorifie, en ses Commentaires sur Diophante, d’avoir trouvé une règle en deux cas particuliers ; je la donne générale en toute sorte de cas et détermine par règle si elle est possible ou non. J’ai ensuite rétabli la plupart des propositions défectueuses de Diophante et j’ai fait celles que Bachet avoue ne savoir pas et la plupart de celles auxquelles il paroît que Diophante même a hésité, dont je donnerai des preuves et des exemples à mon premier loisir.

 7. J’avoue que mon invention pour découvrir si un nombre donné est premier ou non n’est pas parfaite, mais j’ai beaucoup de voies et de méthodes pour réduire le nombre des divisions et pour les diminuer beaucoup en abrégeant le travail ordinaire. Si M. Frenicle baille ce qu’il a médité là dessus, j’estime que ce sera un secours très considérable pour les savans.

 8. La question qui m’a occupé sans que j’aie encore pu trouver aucune solution est la suivante, qui est la dernière du Livre de Diophante De multangulis numeris.

Dato numero, invenire quot modis multangulus esse possit.

Le texte de Diophante étant corrompu, nous ne pouvons pas deviner sa méthode ; celle de Bachet ne m’agrée pas et elle est trop difficile aux grands nombres. J’en ai bien trouvé une meilleure, mais elle ne me satisfait pas encore.

 9. Il faut chercher en suite de celle proposition la solution du problème suivant :

Trouver un nombre qui soit polygone autant de fois et non plus qu’on voudra, et trouver le plus petit de ceux qui satisfont à la question.

 10. Voilà sommairement le compte de mes rêveries sur le sujet des nombres. Je ne l’ai écrit que parce que j’appréhende que le loisir d’étendre et de mettre au long toutes ces démonstrations et ces méthodes me manquera; en tout cas, cette indication servira aux savants pour trouver d’eux-mêmes ce que je n’étends point, principalement si MM. de Carcavi et Frenicle leur font part de quelques démonstrations par la descente que je leur ai envoyées sur le sujet de quelques propositions négatives. Et peut-être la postérité me saura gré de lui avoir fait connaître que les Anciens n’ont pas tout su, et cette relation pourra passer dans l’esprit de ceux qui viendront après moi pour traditio lampadis ad filios, comme parle le grand Chancelier d’Angleterre, suivant le sentiment et la devise duquel j’ajouterai :

Multi pertransibunt et augebitur scientia. (Ndr : « Ils seront nombreux à aller au-delà, et la connaissance en sera accrue. »)

Éloge de Monsieur de Fermat

 Conseiller au Parlement de Toulouse

On a appris icy avec beaucoup de douleur la mort de M. de Fermat Conseiller au Parlement de Tolose. C'estoit un des plus beaux esprits de ce siecle, et un genie si universel et d'une estendue si vaste, que si tous les sçavans n'avoient rendu temoignage de son merite extraordinaire, on auroit de la peine a croire toutes les choses qu'on en doit dire, pour ne rien retrancher de ses loüanges. 

II avoit toujours entretenu une correspondance tres-particuliere avec Messieurs Descartes, Toricelli, Pascal, Frenicle, Roberval, Hugens, etc. et avec la pluspart des grands Geometres d'Angleterre et d'ltalie. Mais il avoit lié une amitié si étroite avec M. de Carcavi, pendant qu'ils estoient confreres dans le Parlement de Tolose, que comme il a este le confident de ses estudes, il est encore aujourd'huy le depositaire de tous ses beaux écrits.
Mais parce que ce Journal est principalement pour faire connoitre par leurs ouvrages les personnes qui se sont rendues celebres dans la republique des lettres; on se contentera de donner icy le catalogue des écrits de ce grand homme; laissant aux autres le soin de luy faire un éloge plus ample et plus pompeux.
Il excelloit dans toutes les parties de la Mathematique; mais principalement dans la science des nombres et dans la belle Geometrie. On a de luy une methode pour la quadrature des paraboles de tous les degrez.
Une autre de maximis et minimis, qui sert non seulement à la determination des problemes plans et solides; mais encore à l'invention des touchantes et des lignes courbes, des centres de gravité des solides, et aux questions numeriques.
Une introduction aux lieux, plans et solides; qui est un traite analytique concernant la solution des problemes plans et solides; qui avoit este veu devant que M. Descartes eut rien publie sur ce sujet.
Un traité de contactibus sphaericis, où il a demonstré dans les solides ce que M. Viet Maître des Requestes, n'avoit demonstré que dans les plans.
Un autre traité dans lequel il rétablit et demonstre les deux livres d'Apollonius Pergæus, des lieux plans.
Et une methode generale pour la dimension des lignes courbes, etc.
De plus, comme il avoit une connoissance tres-parfaite de l'antiquité, et qu'il estoit consulté de toutes parts sur les difficultez qui se presentoient; il a éclaircy une infinité de lieux obscurs qui se rencontrent dans les anciens. On a imprime depuis peu quelques-unes de ses observations sur Athenée; et celuy qui a traduit le Benedetto Castelli de la mesure des eaux courantes, en a inseré dans son ouvrage une tres-belle sur une Epistre de Synesius, qui estoit si difficile, que le Pere Petau qui a commenté cét autheur, a advoiie qu'il ne l'avoit peu entendre. Il a encore fait beaucoup d'observations sur le Theon de Smyrne et sur d'autres Autheurs anciens. Mais la pluspart ne se trouveront qu'eparses dans ses Epitres; parce qu'il n'ecrivoit gueres sur ces sortes de sujets, que pour satisfaire a la curiosite de ses amis.
Tous ces ouvrages de Mathematique, et toutes ces recherches curieuses de l'antiquité, n'empéchoient pas que M. de Fermat ne fit sa charge avec beaucoup d'assiduité, et avec tant de suffisance, qu'il a passé pour un des plus grands Jurisconsultes de son temps.
Mais ce qui est de plus surprenant, c'est qu'avec toute la force d'esprit qui estoit necessaire pour soûtenir les rares squalitez dont nous venons de parler, il avoit encore une si grande delicatesse d'esprit, qu'il faisoit des vers Latins, Francois et Espagnols avec la meme elegance, que s'il eût vécu du temps d'Auguste, et qu'il eût passé la plus grande partie de sa vie à la Cour de France et à celle de Madrid.
On parlera plus particulierement des ouvrages de ce grand homme, lors qu'on aura recouvert ce qui en a esté publié, et qu'on aura obtenu de M. son fils la liberté de publier ce qui ne l'a pas encore esté.

Remerciements

– Un immense merci à Andrew WILES, qui décida à l'âge de 10 ans de relever un jour le défi de Fermat, y consacra plus tard 7 ans de sa vie, et finalement trouva une preuve (beaucoup trop complexe pour moi).
–  Merci à Simon SINGH, grâce à son très beau livre qui résume merveilleusement, depuis Euclide, l'histoire des math et celle du théorème en particulier, je me suis pris de passion en 1996 pour cette énigme. On y trouve aussi de savoureuses anecdotes.
–  Merci à Roland FRANQUART, évidemment.
–  Merci à WIKIPEDIA où j'ai pu largement me documenter.
– Merci aux contributeurs que j'y ai côtoyés et ont su me supporter, parfois avec beaucoup de patience. Je dois beaucoup à des échanges fructueux avec en particulier Cgolds, mais aussi Anne Bauval, Marvoir, Jean-Christophe BENOIST, Cphil, Proz, et bien d'autres qui se reconnaîtront sur d'autres thèmes : sociologie du travail, philosophie, théologie, littérature. Les nombreuses sources que j'ai pu consulter sur Wikipedia m'ont beaucoup appris sur le phénomène de “pensée de groupe”, j'y ai collecté tous les pseudo-arguments véhiculés par la doxa depuis trois siècles.
– Merci au professeur Emmanuel BURY, à la chercheuse et professeure Ludivine GOUPILLAUD pour son étude sur l'usage du latin chez Pierre de Fermat.
– À Catherine Goldstein, ma reconnaissance éternelle, pour l’éclairage que m’ont apporté ses travaux de chercheuse et d'historienne, pour des échanges chaleureux et pour ses encouragements. Son ouvrage, parfois ardu, est magnifique, l'étude est très documentée, et surtout, les analyses sont d'une grande profondeur. Il est malheureusement épuisé et difficile à trouver.
– Merci à Jean ROUSSEAU et Laurent HUA, pour leurs fines observations dans leur ouvrage. Laurent HUA, polymathe, membre de l'équipe française des Experts de Bologne, a été le premier à exploiter la piste du triangle de PASCAL, mais par la voie géométrique alors que FERMAT donne sa solution par la voie arithmétique. Leur ouvrage m'a été d'une grande aide.
– Merci à Aurélien ALVAREZ et à Albert Violant I HOLTZ pour leur objectivité.
– Merci à Madame Claire Adélaïde Montiel, professeure certifiée honoraire de lettres modernes, présidente de l'association Fermat Science, pour ses études sur Fermat.
– Merci à Madame Marielle MOURANCHE, Conservateur des bibliothèques, responsable du livre ancien, Université de Toulouse, SICD.
– Merci à la plateforme de numérisation E-rara où j'ai pu trouver une troisième version de l'Arithmetica de 1670, ce qui fut pour moi un nouvel encouragement et une aide supplémentaire.
– Merci à l'Encyclopédie en ligne GALLICA (BNF).
– Merci à tous ceux qui m'ont encouragé dans ma démarche.
– Merci à Alexandre GROTENDIECK (1928-2014) pour le témoignage si fort qu'il nous a laissé, ses découvertes mathématiques sont d'une telle profondeur que beaucoup d'entre elles sont encore inexploitées.  J'ai cité quelques passages de son témoignage moral, qui m'ont encouragé eux aussi.
– Merci à tous ceux que j'oublie.

Repères

• Le site FERMAT SCIENCE.
• FERMAT, par G. LIBRI.
•  Pierre de Fermat, Varia Opera mathematica, Toulouse, Apud Joannem Pech, 1679. pdf. [lire en ligne].
• Alexandre Grothendieck, "Récoltes et Semailles", un texte connu de nombreux chercheurs.
• Alexandre Grothendieck, La clef des songes, pdf (milieu de page), un texte captivant où l'auteur révèle la méthode qui lui a permis de résister avec une conviction et une force peu communes aux préjugés, fausses croyances et avis les plus académiques.
• Un autre merveilleux texte de Grothendieck, NOTES pour LA CLEF DES SONGES (pdf), p. N39.
•  Pour information, avec un peu de l'histoire mathématique de Grothendieck, de ses ressentis, de ses intuitions, une esquisse : Sketch of a programme (Mathématiques/Algèbre).

Bibliographie restreinte

• Catherine Goldstein, Un théorème de Fermat et ses lecteurs, Éditions des Presses universitaires de Vincennes (PUV), 1995 (épuisé). Voir l’article de Alain Herreman et celui de Hélène Gispert [5] au sujet de l’ouvrage.
• Ludivine Goupillaud, “Demonstrationem mirabilem detexi : mathématique et merveille dans l’œuvre de Pierre de Fermat”, in ‘’Tous vos gens à latin – Le latin langue vivante, langue savante, langue mondaine (XIV^e  - XVII^e siècles), Éditions Droz, 2005.
  
• Laurent Hua et Jean Rousseau, « Fermat a-t-il démontré son grand théorème ? L’hypothèse  "Pascal "», Essai. L’Harmattan, 2002. La 1^re partie (128 pages), écrite par Jean Rousseau, est une étude historiographique : les formulations partielles et leur contexte. La deuxième partie, Laurent Hua la consacre à l'hypothèse «Pascal».
• Paul Tannery, Œuvres de Fermat, Paris, Gauthier-Villars t. 1 (1891), 2 (1894) et 4 (1912).
• Marielle Mouranche (sous la direction de), PIERRE DE FERMAT L’ÉNIGMATIQUE, Éditions midi-pyrénéennes – Université fédérale Toulouse Midi-Pyrénées, 2017.
  
• Eric Temple Bell, The Last Problem, Ed. Simon and Schuster, 1961.
• Jacques Roubaud : “Mathématique :” (récit), Seuil, 1997.
• Simon Singh, Le dernier théorème de Fermat, Éditions Jean-Claude Lattès, 1998. Pour qui veut découvrir l'histoire de ce théorème, un livre très plaisant à lire.
• Albert Violant I Holz, L’énigme de Fermat – trois siècles de défi mathématique, 2013. Une collection présentée par Cédric Villani.