2017... année de Fermat encore ?

Publié par Claire Adélaïde Montiel, le 24 avril 2017   1.4k


Voici une petite chronique malicieuse que je me fais un plaisir de partager avec vous. Elle m'est communiquée par l'un des administrateurs de l'Association Fermat-Science, Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, professeur émérite de l'Université Paul Sabatier de Toulouse.


Nous sommes en 2017, certes... mais qu'a de particulier ce nombre 2017 ? Tout d'abord, c'est un nombre premier, c'est-à-dire qu'on ne peut le « casser » pour le mettre sous la forme de produit de deux nombres (en mathématiques on dit « factoriser un nombre »). Mais, des nombres premiers il y en a beaucoup, autant qu'on en veut, même si leur « répartition » parmi tous les nombres entiers fait encore l'objet de recherches intenses par les chercheurs mathématiciens.

Mais le nombre 2017 a une autre propriété : il est de la forme « 4 fois quelque chose plus 1 » ; en effet

2017 = 2016 + 1 = 4 fois 504, plus 1.

Et alors là nous touchons à une particularité encore plus grande de 2017 : il est la somme de deux carrés d'entiers ! En effet, dans une intuition fulgurante comme il en avait parfois, P. de Fermat avait annoncé à la volée le résultat suivant : un nombre premier ( > 3 ) est la somme de deux carrés d'entiers si, et seulement si, il est de la forme 4k + 1. Il a fallu attendre L. Euler (un siècle plus tard) pour en avoir confirmation par une démonstration probante. Ainsi, de nos jours, cette extraordinaire caractérisation est appelée « théorème des deux carrés de Fermat-Euler ».

Revenons à nos moutons. D'après Fermat-Euler donc, 2017 est la somme de deux carrés d'entiers, et, d’ailleurs, une telle décomposition est unique. Après quelques tâtonnements, on arrive à la trouver :

2017 = (44)² + (9)².

Des nombres premiers avec cette particularité, il n'y en a pas tant que ça... Entre 2000 et 2050, il n'y en a que deux : 2017 et 2029. Voici donc une question pour terminer : trouver la décomposition en somme de deux carrés de 2029 ( Réponse : 2029 = (2)² + (45)² ).

Ah! sacré Fermat.