10 faits amusants mathématiques

Publié par Thomas Ricaud, le 21 juin 2019 15k

Les mathématiques c’est nul. Les mathématiques ça craint. Les mathématiques c’est dur et cela ne sert à rien…

Voici les phrases que nous pouvons entendre quotidiennement sur les mathématiques, discipline pourtant tellement importante ! Et tellement amusante si on prend le temps d’y regarder d’un peu plus près…

Dans la Maison de Fermat dans le Sud de la France, et dans bien des lieux comme celui-ci, nous nous efforçons de changer le regard que peuvent porter les jeunes et les moins jeunes envers les mathématiques. Nous développons une autre idée des maths… et cette vision-là est bien plus fun !

En voici la preuve avec 10 faits étonnants vus avec un autre regard sur les mathématiques !

1/ Mon ami Cédric Villani

Pour les mathématiciens, les réseaux sociaux peuvent être représentés par des graphes géants (un graphe est un schéma contenant des points nommés sommets, reliés ou non par des segments appelés arêtes ou liens). Il peut y avoir des centaines de millions de sommets (les profils) et de liens (les amis).

De nombreux mathématiciens se sont intéressés à la densité des échanges, à la popularité ou non de certains comptes… Ils ont pu constater que tous les réseaux sociaux fonctionnaient de la même manière. Une majorité de personnes a peu de liens (d’amis) et une minorité en a énormément. Par ailleurs, et cela parait logique, deux personnes qui ont un ami commun auront de plus fortes chances de devenir amies à leur tour. Voilà pourquoi votre réseau social préféré vous suggère souvent des amis d’amis. Tout cela est calculé…

Visualisation artistique du principe des Six degrés de séparation [Source https://fr.wikipedia.org/]

Avec le développement des réseaux sociaux, ce degré de séparation a été mesuré à 4,74 sur le réseau social Facebook en 2011 et aux alentours de 3,5 degrés en 2016. La dernière étude a été réalisée suite à l’échange de plusieurs milliards de messages instantanés étudiés en 2008 par Eric Horvitz et Jure Leskovec, chercheurs chez Microsoft.

Cette théorie est plus efficacement utilisée sur le réseau professionnel LinkedIn qui signale le degré de séparation entre deux individus ainsi que les « chemins » possibles qui relient un individu à un autre à travers leurs réseaux relationnels respectifs.

2/ Sacré π

Pi, appelé parfois constante d’Archimède, est un nombre représenté par la lettre grecque minuscule du même nom : π. L’usage de cette lettre grecque π, première lettre de περίμετρος (« périmètre » en grec ancien), n’est apparu qu’au XVIIIe siècle. Auparavant, sa valeur était désignée par diverses périphrases comme la « constante du cercle » ou son équivalent dans diverses langues.

On retrouve cette constante dans tout ce qui est rond ou animé par un mouvement circulaire. A vous de le vérifier ! Prenez n’importe quel objet rond, par exemple une assiette ou une roue de vélo, mesurez sa circonférence, puis son diamètre. Divisez la circonférence par son diamètre, vous obtiendrez un peu plus de 3, et plus précisément π.

3/ Gauss et le calcul mental

Portrait de Gauss

Surnommé le Prince des mathématiciens, Carl Friedrich Gauss étudia tous les domaines des mathématiques et contribua à développer la plupart des branches des sciences.

Enfant prodige, on dit qu’il sut lire et compter dès l’âge de trois ans et on raconte également qu’il fit preuve d’un talent remarquable pour le calcul mental. Un jour de classe, son professeur demanda de calculer la somme des nombres de 1 à 100. Après très peu de temps, le jeune Gauss, alors âgé de 10 ans, donna la réponse à cette opération complexe grâce à une technique qui consistait à regrouper les termes extrêmes par deux. Sans le savoir encore, Gauss avait découvert la formule permettant de calculer la somme des termes d’une suite arithmétique.
Il fit :

(1 + 100)

+ (2 + 99)

+ (3 + 98)

+ ...

+ (50 + 51)

= 101 x 50 = 5 050

4/ Simpson et Fermat

Dans un des épisodes des Simpson, on peut voir une égalité qui rappellera un fameux théorème du mathématicien Pierre Fermat :

Il est écrit : 1782¹² + 1841¹² = 1922¹²

En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, le dernier théorème de Fermat, ou grand théorème de Fermat, ou depuis sa démonstration Théorème de Fermat-Wiles, s'énonce comme suit :

Il n'existe pas de nombres entiers strictement positifs x, y et z tels que : x ⁿ+ y ⁿ = z ⁿdès que n est un entier strictement supérieur à 2.

Homer aurait-il démontré le contraire ?

Bien sûr que non ! Mais, étrangement, si nous tentons de prouver cette égalité avec notre calculatrice nous voyons qu’elle est correcte… Que se passe-t-il alors ?

Tout simplement les nombres sont tellement grands que la calculatrice va les arrondir… En effet, ces deux nombres (la somme de (1782¹² + 1841¹²) puis 1922¹²) ont leurs huit premiers chiffres identiques mais ne sont pas égaux !

5/ Google

Certains nombres sont tellement grands que nous avons du mal à les imaginer. Gogol par exemple est un nombre égal à 1 suivi de 100 zéros (soit 10¹⁰⁰). Le mot gogol est cité pour la première fois en anglais, googol, par le mathématicien américain Edward Kasner dans son livre Mathematics and the Imagination paru en 1938. Kasner aurait demandé à son neveu alors âgé de 9 ans de baptiser le nombre qu'il venait de créer. Il lui aurait répondu simplement : « Googol ».

Le gogol est explicitement revendiqué par les fondateurs de Google, comme modèle du nom de leur société : « Google a choisi ce terme pour symboliser sa mission : organiser l'immense volume d'information disponible sur le Web. ».

6/ Paradoxe des Anniversaires

Si vous mettez 23 personnes dans une pièce, il y a 50% de chances pour que 2 d’entre elles partagent la même date d’anniversaire… Le paradoxe des anniversaires résulte de l'estimation probabiliste du nombre de personnes que l'on doit réunir pour avoir au moins une chance sur deux que deux personnes de ce groupe aient leur anniversaire le même jour. Il se trouve que ce nombre est 23, ce qui choque un peu l'intuition. À partir d'un groupe de 57 personnes, la probabilité est supérieure à 99 %.

Il s'agit d'un paradoxe non pas dans le sens de contradiction logique, mais dans le sens où c'est une vérité mathématique qui contredit l'intuition : la plupart des gens estiment que cette probabilité est très inférieure à 50 %. Cette étude est due à Richard von Mises.

7/ Pringles et les maths

La forme particulière de ces chips a été conçue à partir d’un supercalculateur. Notamment pour empêcher les chips de s’envoler… De s’envoler ?

En effet, lors de leur fabrication, les chips empruntaient un convoyeur. Pour augmenter la production, la vitesse de ce convoyeur a dû être augmentée et les chips se sont mises à s’envoler. Des ingénieurs se sont donc penchés sur la question, et, à l’aide d’un supercalculateur, une forme de paraboloïde hyperbolique a été mise au point pour résoudre le problème.

8/ Vive les reines et les rois !

Combien a-t-on de chance de trouver la fève lorsque l’on coupe une galette des rois ? Des mathématiciens ont tenté d’élucider cette question !

Pour ce calcul de probabilités, les hypothèses considérées ont été les suivantes : des convives (8 précisément) se partagent de manière égale une galette d’un diamètre de 25 cm dans laquelle se trouve une fève circulaire de 2,5 cm de diamètre. Rappelons aussi que la position de la fève influe très fortement sur la probabilité de tomber dessus lorsqu’on coupe la galette. En effet, si la fève est au centre de la galette, celui qui la découpe est certain de tomber dessus.

Après un savant calcul, et en prenant en compte ces hypothèses, il a été démontré qu’il y a au minimum une chance sur 4 de tomber sur la fève en découpant la galette pour ces dimensions. Voilà pourquoi on tombe si souvent dessus !

9/ Entrez dans la ronde !

Que l’on soit 10, 100 ou 1000 dans une ronde, il faut que chacun se recule de 28 cm pour ajouter une personne dans un cercle… Vraiment ?

Instinctivement, on a tendance à croire qu'ajouter une personne dans un cercle de 1000 personnes ne fera reculer chacun que de quelques millimètres pour qu’elle ait sa place dans la ronde. Or ce n'est pas le cas car le périmètre et le rayon du cercle sont proportionnels : P = 2 * π * R

Donc si on change le périmètre de 1,75 m (ce qui est approximativement l'envergure d'un homme), il faut changer le rayon de 1,75/(2 * π) soit approximativement 0.28m pour que le cercle demeure homogène.

10/ Question de formes…

Si les plaques d’égout sont rondes, ce n’est pas un hasard. Ce choix est lié à des raisons de sécurité.

En lui donnant cette forme et un diamètre légèrement plus grand que celui du trou, ses concepteurs ont fait en sorte qu’elle ne puisse physiquement pas tomber dans le trou.

Une plaque carrée, rectangulaire ou triangulaire n’aurait pas pu offrir les mêmes garanties, car elle aurait pu basculer dans l’orifice par sa diagonale.